2.4. Расчеты на прочность при растяжении

2.4. Расчеты на прочность при растяжении

2.4. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ Основной задачей расчета конструкции на растяжение является обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации. Условие прочности — оценка прочности элемента конструкции, сводящаяся к сравнению расчетных напряжений с допускаемыми: σ≤рσ[р ]; σ с ≤[ с],σ (2.9) где σр и σс — наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие напряжения; [σр] и [σс] — допускаемые напряжения при растяжении и сжатии. Допускаемое напряжение — наибольшее напряжение, которое можно допустить в элементе конструкции при условии его безопасной, долговечной и надежной работы: Здесь σпред — предельное напряжение (состояние), при котором конструкция перестает удовлетворять эксплуатационным требованиям; им мо- гут быть предел текучести, предел прочности, предел выносливости, пре- дел ползучести и др. Для конструкций из пластичных материалов при определении допускаемых напряжений используют предел текучести σт (рис. 2.4, а). Это связано с тем, что в случае его превышения деформации резко возрастают при незначительном увеличении нагрузки и конструкция перестает удовлетворять условиям эксплуатации. Допускаемое напряжение в этом случае определяют как Для хрупких материалов (чугун, бетон, керамика) где σвр и σвс — пределы прочности при растяжении и сжатии (рис. 2.4, б). Здесь [n] — нормативный коэффициент запаса прочности. В зависимости от той предельной характеристики, с которой сравнивают расчетное напряжение σ, различают [nт] — нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести σт и [nв] — нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу прочности σв. Запас прочности — отношение предельно допустимой теоретической нагрузки к той нагрузке, при которой возможна безопасная работа конструкции с учетом случайных перегрузок, непредвиденных дефектов и недостоверности исходных данных для теоретических расчетов. Нормативные коэффициенты запаса прочности зависят: − от класса конструкции (капитальная, временная), − намечаемого срока эксплуатации, − условий эксплуатации (радиация, коррозия, загнивание), − вида нагружения (статическое, циклическое, ударные нагрузки) − неточности задания величины внешних нагрузок, − неточности расчетных схем и приближенности методов расчета − и других факторов. Нормативный коэффициент запаса прочности не может быть единым на все случаи жизни. В каждой отрасли машиностроения сложились свои подходы, методы проектирования и приемы технологии. В изделиях общего машиностроения принимают [nт] = 1,3 — 2,2; [nв] = 3 — 5. Вероятность выхода из строя приближенно можно оценить с помощью коэффициента запаса в условии прочности: n = 1 соответствует вероятности невыхода из строя 50 %; n = 1,2 соответствует вероятности невыхода из строя 90 %; n = 1,5 соответствует вероятности невыхода из строя 99 %; n = 2 соответствует вероятности невыхода из строя 99,9 %. Для неответственных деталей n = 2 много. Для ответственных — мало. Так для каната подъемного лифта это означает на 1000 подъемов одно падение. При расчете конструкций на прочность встречаются три вида задач, которые вытекают из условия прочности а) поверочный расчет (проверка прочности). Известны усилие N и площадь A. Вычисляют σ = N/A и, сравнивая его с предельным σт или σв (для пластичного и хрупкого материалов соответственно), находят фактический коэффициент запаса прочности который затем сопоставляют с нормативным [n]; б) проектный расчет (подбор сечения). Известны внутреннее усилие N и допускаемое напряжение [σ]. Определяют требуемую площадь поперечного сечения стержня в) определение грузоподъемности (несущей способности). Известны площадь А и допускаемое напряжение [σ]. Вычисляют внутреннее усилие N≤N[ ] = ⋅[σ]A, (2.15) а затем в соответствие со схемой нагружения — величину внешней нагрузки F ≤ [F].

1. Проверочный расчет

2. Проектный расчет или подбор сечения

3. Определение допускаемой нагрузки

20. Цель расчёта по предельным состояниям первой группы заключается в том, чтобы предотвратить наступление любого из предельных состояний первой группы ( общая потеря устойчивости формы, потеря устойчивости положения, хрупкое, вязкое или иного характера разрушение, разрушение под совместным воздействием силовых факторов и неблагоприятных влияний внешней среды), т.е. обеспечить несущую способность как отдельной конструкции, так и всего здания в целом.

Несущая способность конструкции считается обеспеченной, если удовлетворяется неравенство типа

N ≤ Ф,

где N — расчётные, т.е. наибольшие возможные усилия, могущие возникнуть в сечении элемента ( для сжатых и растянутых элементов — это продольная сила, для изгибаемых — изгибающий момент)

Ф — наименьшая возможная несущая способность сечения элемента, подвергающегося сжатию, растяжению или изгибу. Она зависит от прочностных свойств материала конструкции, геометрии (формы и размеров) сечения , т.е.

Ф = [R;А ],

где R — расчётное сопротивление материала

А — геометрический фактор ( площадь поперечного сечения — при растяжении и сжатии, момент сопротивления — при изгибе.

Цель расчёта по предельным состояниям второй группы — не допустить ни одного из предельных состояний второй группы (прогибы, осадки, углы поворота, колебания и трещины), т.е. обеспечить нормальную эксплуатацию строительных конструкций или здания в целом.

Считается, что предельные состояния второй группы не наступят, если будет удовлетворено условие

f ≤fₑ,

где f (в общем случае) — это определённая из расчёта деформация конструкции.

Для изгибаемых элементов это прогиб конструкции, для стержневых систем — укорочение или удлинение стержней, для оснований — величина осадки.

fₑ — предельная деформация конструкции, которая определяется СНиП

21. Подбор сечений с учетом собственного веса (при растяжении и сжатии).

При установлении внешних сил, растягивающих или сжимающих элементы конструкций, мы до сих пор игнорировали собственный вес этих элементов. Возникает вопрос, не вносится ли этим упрощением расчета слишком большая погрешность? В связи с этим подсчитаем величины напряжений и деформаций при учете влияния собственного веса растянутых или сжатых стержней.

Пусть вертикальный стержень (Рис.1, а) закреплен своим верхним концом; к нижнему его концу подвешен груз Р. Длина стержня l, площадь поперечного сечения F, удельный вес материала и модуль упругости Е. Подсчитаем напряжения по сечению АВ, расположенному на расстоянии от свободного конца стержня.

а) б)

Рис.1. Исходная расчетная схема бруса а) и б) — равновесие нижней отсеченной части.

Рассечем стержень сечением АВ и выделим нижнюю часть длиной с приложенными к ней внешними силами (Рис.1, б) — грузом Р и ее собственным весом . Эти две силы уравновешиваются напряжениями, действующими на площадь АВ от отброшенной части. Эти напряжения будут нормальными, равномерно распределенными по сечению и направленными наружу от рассматриваемой части стержня, т. е. растягивающими. Величина их будет равна:

Таким образом, при учете собственного веса нормальные напряжения оказываются неодинаковыми во всех сечениях. Наиболее напряженным, опасным, будет верхнее сечение, для которого достигает наибольшего значения l; напряжение в нем равно:

Условие прочности должно быть выполнено именно для этого сечения:

Отсюда необходимая площадь стержня равна:

От формулы, определяющей площадь растянутого стержня без учета влияния собственного веса, эта формула отличается лишь тем, что из допускаемого напряжения вычитается величина .

Чтобы оценить значение этой поправки, подсчитаем ее для двух случаев. Возьмем стержень из мягкой стали длиной 10 м; для него , а величина . Таким образом, для стержня из мягкой стали поправка составит т. е. около 0,6%. Теперь возьмем кирпичный столб высотой тоже 10 м; для него , а величина Таким образом, для кирпичного столба поправка составит , т.е. уже 15%.

Вполне понятно, что влиянием собственного веса при растяжении и сжатии стержней можно пренебрегать, если мы не имеем дела с длинными стержнями или со стержнями из материала, обладающего сравнительно небольшой прочностью (камень, кирпич) при достаточном весе. При расчете длинных канатов подъемников, различного рода длинных штанг и высоких каменных сооружений (башни маяков, опоры мостовых ферм) приходится вводить в расчет и собственный вес конструкции.

В таких случаях возникает вопрос о целесообразной форме стержня. Если мы подберем сечение стержня так, что дадим одну и ту же площадь поперечного сечения по всей длине, то материал стержня будет плохо использован; нормальное напряжение в нем дойдет до допускаемого лишь в одном верхнем сечении; во всех прочих сечениях мы будем иметь запас в напряжениях, т. е. излишний материал. Поэтому желательно так запроектировать размеры стержня, чтобы во всех его поперечных сечениях (перпендикулярных к оси) нормальные напряжения были постоянны,

Такой стержень называется стержнем равного сопротивления растяжению или сжатию. Если при этом напряжения равны допускаемым, то такой стержень будет иметь наименьший вес.

Возьмем длинный стержень, подверженный сжатию силой Р и собственным весом (Рис.2). Чем ближе к основанию стержня мы будем брать сечение, тем больше будет сила, вызывающая напряжения в этом сечении, тем большими придется брать размеры площади сечения. Стержень получит форму, расширяющуюся книзу. Площадь сечения F будет изменяться по высоте в зависимости от , т. е. .

Установим этот закон изменения площади в зависимости от расстояния сечения от верха стержня.

Рис.2. Расчетная схема бруса равного сопротивления

Площадь верхнего сечения стержня определится из условия прочности:

и

где — допускаемое напряжение на сжатие; напряжения во всех прочих сечениях стержня также должны равняться величине

Чтобы выяснить закон изменения площадей по высоте стержня, возьмем два смежных бесконечно близких сечения на расстоянии от верха стержня; расстояние между сечениями ; площадь верхнего назовем , площадь же смежного .

Приращение площади при переходе от одного сечения к другому должно воспринять вес элемента стержня между сечениями. Так как на площади он должен вызвать напряжение, равное допускаемому , то определится из условия:

Отсюда:

После интегрирования получаем:

При площадь ; подставляя эти значения, имеем:

и

Отсюда

,

Если менять сечения точно по этому закону, то боковые грани стержня получат криволинейное очертание (Рис.2), что усложняет и удорожает работу. Поэтому обычно такому сооружению придают лишь приближенную форму стержня равного сопротивления, например в виде усеченной пирамиды с плоскими гранями. Приведенный расчет является приближенным. Мы предполагали, что по всему сечению стержня равного сопротивления передаются только нормальные напряжения; на самом деле у краев сечения напряжения будут направлены по касательной к боковой поверхности.

В случае длинных канатов или растянутых штанг форму стержня равного сопротивления осуществляют тоже приближенно, разделяя стержень по длине на ряд участков; на протяжении каждого участка сечение остается постоянным (Рис.3) — получается так называемый ступенчатый стержень.

Рис.3. Эквивалентный ступенчатый брус с приближением к модели бруса равного сопротивления

Определение площадей … при выбранных длинах производится следующим образом. Площадь поперечного сечения первого нижнего участка будет по формуле равна:

Чтобы получить площадь поперечного сечения второго участка, надо нагрузить его внешней силой Р и весом первого участка :

Для третьего участка к внешней силе добавляются веса первого и второго участков. Подобным же образом поступают и для других участков.

Расчеты на прочность при растяжении/сжатии (3 вида расчётов)

Метод сечений. Внутренние силовые факторы.

Метод сечений

Метод сечений заключается в том, что, тело мысленно разрезается плоскостью на части, любая из которых отбрасывается и взамен нее к сечению оставшейся части прикладывается внутренние силы, действовавшие до разреза; оставленная часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием внешних и приложенных к сечению внутренних сил (сечения проводятся в точках приложения силы, моментов, изменение сечения).

Рисунок 1

Внутренние силовые факторы

Рассечем брус на рисунке 1 поперечным сечением а-а и рассмотрим равновесие его левой части.

Если внешние силы, действующие на брус, лежат одной плоскости, то в общем случае статическим эквивалентом внутренних сил, действующих в сечение а-а, будет главный вектор F гл , приложенный в центре тяжести сечения, и главный момент M и , уравновешивающие плоскую систему внешних сил, приложенных к оставленной части бруса.

Разложим главный вектор на составляющую N, направленную вдоль оси бруса, и составляющую Q, перпендикулярную этой оси, т.е. лежащую в плоскости поперечного сечения.

Эти составляющие главного вектора вместе с главным моментом назовем внутренними силовыми факторами, действующими в сечение.

Для определения указанных трех внутренних силовых факторах статика дает три уравнения равновесия оставленной части бруса, а именно:

(ось z всегда направляем по оси бруса).

Напряжение как критерий прочности. Физический смысл разложения полного напряжения на две составляющие: нормальное, касательное.

Напряжение как критерий прочности

Напряжение характеризует интенсивность внутренних сил, действующих в сечении. Таким образом, напряжение есть внутренняя сила, отнесенная к единице площади сечения:

Единица напряжения:

Физический смысл разложения полного напряжения на две составляющие: нормальное, касательное

При растяжение, сжатии и чистом изгибе действует только нормальные напряжения (σ), а при сдвиге и кручении только касательные напряжения (τ).

Так как угол между нормальным и касательным напряжениями всегда равен 90°, то модуль полного напряжения p определяется по формуле:

36. Деформация растяжения/сжатия. Построение эпюр продольной силы N и нормальных напряжений.

Деформация растяжения/сжатия

Растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только продольная сила.

Построение эпюр продольной силы N и нормальных напряжений.

При построение эпюры N применяем метод сечений, определяем силовые участки, после этого откладываем приложенные силы к оси соблюдая знаки .

Расчеты на прочность при растяжении/сжатии (3 вида расчётов)

При расчете конструкций на прочность встречаются три вида задач, различающихся формой использования расчетной формулы.

1. Проектный расчет, при котором определяются размеры опасного сечения по формуле:

2. Проверочный расчет, при котором определяется рабочее напряжение и сравнивается с допускаемым по формуле:

3. Определение допускаемой нагрузки ведется по формуле:

Расчет на прочность: при растяжении, кручении и изгибе.

Эта статья будет посвящена расчетам на прочность, которые выполняются в сопромате и не только. Расчеты на прочность бывают двух видов: проверочные и проектировочные (проектные).

Проверочные расчеты на прочность — это такие расчеты, в ходе которых проверятся прочность элемента заданной формы и размеров, под некоторой нагрузкой.

В ходе проектировочных расчетов на прочность определяются какие-то размеры элемента из условия прочности. Причем, очевидно, что для разных видов деформаций эти условия прочности различны. Также к проектным расчетам можно отнести расчеты на грузоподъемность, когда вычисляется максимальная нагрузка, которую может выдерживать конструкция, не разрушаясь. Рассмотрим более подробно, как проводится прочностные расчеты для разных случаев.

Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)

Начнем, пожалуй, с самого простого вида деформации растяжения (сжатия). Напряжение при центральном растяжении (сжатии) можно получить, разделив продольную силу на площадь поперечного сечения, а условие прочности выглядит вот так:

где сигма в квадратных скобках — это допустимое напряжение. Которое можно получить, разделив предельное напряжения на коэффициент запаса прочности:

Причем, за предельное напряжение для разных материалов принимают разное значение. Для пластичных материалов, например, для малоуглеродистой стали (Ст2, Ст3) принимают предел текучести, а для хрупких (бетон, чугун) берут в качестве предельного напряжения — предел прочности (временное сопротивление). Эти характеристики получают при испытании образцов на растяжение или сжатие на специальных машинах, которые фиксируют характеристики в виде диаграммы.

Коэффициент запаса прочности выбирается конструктором исходя из своего личного опыта, назначения проектируемой детали и сферы применения. Обычно, он варьируется от 2 до 6.

В случае если необходимо подобрать размеры сечения, площадь выражают таким образом:

Таким образом, минимальная площадь поперечного сечения при центральном растяжении (сжатии) будет равна отношению продольно силы к допустимому напряжению.

Расчеты на прочность при кручении

При кручении расчеты на прочность в принципе схожи с теми, что проводятся при растяжении. Только здесь вместо нормальных напряжений появляются касательные напряжения.

На кручение работают, чаще всего, детали, которые называются валами. Их назначение заключается в передаче крутящего момента от одного элемента к другому. При этом вал по всей длине имеет круглое поперечное сечение. Условие прочности для круглого поперечного сечения можно записать так:

где Ip — полярный момент сопротивления, ρ — радиус круга. Причем по этой формуле можно определить касательное напряжение в любой точке сечения, варьируя значение ρ. Касательные напряжения распределены неравномерно по сечению, их максимальное значение находится в наиболее удаленных точках сечения:

Условие прочности, можно записать несколько проще, используя такую геометрическую характеристику как момент сопротивления:

То бишь максимальные касательные напряжения равны отношению крутящего момента к полярному моменту сопротивления и должны быть меньше либо равны допустимому напряжению. Геометрические характеристики для круга, упомянутые выше можно найти вот так:

Иногда в задачах встречаются и прямоугольные сечения, для которых момент сопротивления определяется несколько сложнее, но об этом я расскажу в другой статье.

Расчеты на прочность при изгибе

Литература:

1. М.П. Киселева, З.С. Шпрах, Л.М. Борисова и др. Доклиническое изучение противоопухолевой активности производного N-гликозида индолокарбазола ЛХС-1208. Сообщение II // Российский биотерапевтический журнал. 2015. № 3. С. 41-47.
2. Мирский, «Хирургия от древности до современности. Очерки истории.» (Москва, Наука, 2000, 798 с.).
3. https://dx-dy.ru/sopromat/raschet-na-prochnost-pri-rastyazenii.html.
4. https://megaobuchalka.ru/10/22431.html.
5. https://studopedia.net/18_59979_rascheti-na-prochnost-pri-rastyazheniiszhatii—vida-raschetov.html.
6. https://ssopromat.ru/prochnost/raschetyi-na-prochnost/.
7. Renouard, «Histoire de la medicine» (П., 1948).
8. Moustafine R. I., Bukhovets A. V., Sitenkov A. Y., Kemenova V. A., Rombaut P., Van den Mooter G. Eudragit® E PO as a complementary material for designing oral drug delivery systems with controlled release properties: comparative evaluation of new interpolyelectrolyte complexes with countercharged Eudragit® L 100 copolymers. Molecular Pharmaceutics. 2013; 10(7): 2630–2641. DOI: 10.1021/mp4000635.
9. Moustafine R. I., Bobyleva V. L., Bukhovets A. V., Garipova V. R.,Kabanova T. V., Kemenova V. A., Van den Mooter G. Structural transformations during swelling of polycomplex matrices based on countercharged (meth)acrylate copolymers (Eudragit® EPO/Eudragit® L 100-55). Journal of Pharmaceutical Sciences. 2011; 100:874–885. DOI:10.1002/jps.22320.