Сложное сопротивление.

В инженерной практике часто имеют место случаи одновременного действия на стержень поперечных и продольных нагрузок, причем последние могут быть приложены внецентренно. Такой случай показан на рис. 11.26. При этом внутренние усилия в заделке равны:

Рис. 11.26

Рис. 11.27

В общем случае растяжения или сжатия с изгибом внутренние усилия определяются раздельно от действия всех составляющих нагрузок. Нормальные напряжения в поперечных сечениях определяются по общей формуле

Приравняв это выражение нулю, получим уравнение нулевой линии

Положив в этом уравнении последовательно у = 0 и z = О, получим формулы для определения отрезков, отсекаемых нулевой линией на осях координат:

Как и во всех рассмотренных выше случаях сложного сопротивления, наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения действуют в точках сечения, наиболее удаленных от нулевой линии. Для сечений типа прямоугольника и двутавра это противоположные угловые точки сечения. Значения наибольших и наименьших напряжений в угловых точках можно определить по формулам:

где величины изгибающих моментов Mz и Му надо взять по абсолютной величине.

Напомним, что во всех предыдущих решениях использовался принцип независимости действия сил, позволяющий определять внутренние усилия для недеформированного состояния стержня. Строго говоря, это возможно только при малых деформациях. В противном случае принцип независимости действия сил использовать нельзя.

Рассмотрим, например, консольный стержень в условиях сжатия с изгибом (рис. 11.27). Если стержень обладает значительной гибкостью и прогибы от поперечной нагрузки достаточно велики, то сила Р вызывает дополнительный изгиб, а изгибающий момент в заделке от ее действия равен М = PvB. Для негибких стержней этот момент незначителен и его можно не учитывать. Для гибких стержней необходимо проводить расчет по так называемой деформированной схеме с учетом влияния продольных сил на изгиб. Подобные задачи будут рассмотрены в гл. 13.

Пример 11.7. Для короткого консольного деревянного стержня круглого сечения, находящегося в условиях центрального сжатия и изгиба в плоскости Oxz (рис. 11.28), построим эпюру о в опасном сечении.

Рис. 11.28

Определяем геометрические характеристики сечения:

Строим эпюры внутренних усилий N и Му (рис. 11.28, а). Изгибающий момент Му вызывает растяжение волокон левой половины стержня и имеет наибольшее значение в заделке: Му = — 4 • 1,2 • 0,6 = -2,88 кНм. Изгибающий момент Mz равен нулю. Определяем значения наибольших нормальных напряжений в точках А и В в сечении вблизи заделки:

Напряжения во всех точках сечения стержня являются сжимающими. Эпюры о в опасном сечении от действия N и М и суммарная эпюра с приведены на рис. 11.28, б.

Пример 11.8. Для стального стержня, состоящего из двух неравнобоких уголков L 160x100x10, находящегося в условиях центрального растяжения и изгиба в плоскости Оху (рис. 11.29, а), определим расчетное значение силы Р из условия прочности и построим эпюру о в опасном сечении. Совместная работа уголков обеспечена соединениями, показанными пунктиром. В расчетах примем R= 210 МПа = 21 кН/см2, ус = 0,9.

Рис. 11.29

Определяем геометрические характеристики сечения:

Строим эпюры N w Mz (рис. 11.29, а). Опасным является сечение в середине стержня, где Mz имеет наибольшее значение. В нижних волокнах стержня нормальные напряжения от действия N и Mz имеют одинаковый знак и являются растягивающими. Из условия прочности по наибольшим растягивающим напряжениям в точке А

находим Р 29,4 кН. При действии силы Р = 29,4 кН напряжения в точках А и В равны:

Эпюры о в опасном сечении от действия N w Mzw суммарная эпюра а приведены на рис. 11.29, б.

Пример 11.9. Для стального консольного стержня составного сечения, находящегося в условиях внецентренного растяжения и изгиба (рис. 11.30, а), выполним проверку прочности и построим эпюру а в опасном сечении. В расчетах примем /? = 210 МПа, ус — 0,9.

Построим эпюры N, Mz, Му. Изгибающий момент Mz вызывает растяжение верхних волокон стержня и в заделке равен Mz = -10 • 3,6 — 15 • 1,8 = -63 кНм, а момент М вызывает растяжение волокон левой части сечения (при взгляде от положительного направления оси Ох) и имеет постоянное значение Му = -300 • 0,0625 = -18,75 кНм. Продольная сила является растягивающей и также имеет постоянное значение N = 300 кН.

Наибольшие нормальные напряжения действуют в сечении вблизи заделки (опасное сечение).

Рис. 11.30

Определяем геометрические характеристики сечения. Учитывая, что для двутавра 124 Fx = 34,8 см2, J = 3460 см4, Jy = = 198 см4, b = 11,5 см, И = 24 см, находим:

Наибольшие напряжения действуют в противоположных угловых точках опасного сечения. Определяем по формулам (11.17) отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат. Учитывая, что в первой четверти сечения моменты Mz и Му вызывают сжатие и имеют отрицательный знак, находим:

Отложив у0 и Zq на осях координат, проводим нулевую линию. На прямой, перпендикулярной нулевой линии, строим эпюру о (рис. 11.30, б), которая является разнозначной. Наибольшие растягивающие напряжения возникают в точке Л . Напряжения в точках Л и В равны:

Поскольку оА = 123,7 МПа ycR = 189 МПа, прочность стержня обеспечена. Эпюра с в опасном сечении приведена на рис. 11.30, б.

Сложным сопротивлением называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает несколько внутренних силовых факторов.

Наиболее часто в расчетной практике встречаются следующие виды сложного сопротивления:

• • косой изгиб;
• • внецентренное растяжение-сжатие;
• • изгиб с кручением.

При анализе сложного сопротивления используется принцип независимости действия сил. Искомая величина при этом находится в результате сложения величин, полученных при простых видах деформации.

Косой изгиб

Косым изгибом называется вид нагружения стержня, при котором плоскость действия изгибающего момента М не проходит ни через одну из главных осей инерции поперечного сечения.

На основании принципа суперпозиции изгибающий момент М раскладывается на составляющие Мх, Му, действующие в плоскостях, проходящих через главные оси инерции поперечного сечения Оу и Ох (рис. 25): Мх = М cos ф, Му = sin ф. Здесь ф — угол отклонения плоскости действия М от оси у.

X

Рис. 25

о — —

Нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения определяются как сумма напряжений, возникающих от моментов Мх и Му:

гдех и у — координаты точки, в которой определяется напряжение.

Напряжения в сечении изменяются по линейному закону и могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Линия, которая делит сечение на сжатую и растянутую части и напряжение на которой равно нулю, называется нейтральной (нулевой) линией (н.л.).

Положение нейтральной линии определяется по формуле

№ = уЧФ,

где а — угол отсчитываемый от оси Ох (рис. 26).

Если ]х Ф /у, то а Ф ф, т.е. в общем случае нейтральная линия

неперпендикулярна плоскости действия изгибающего момента М.

Максимальные напряжения возникают в наиболее удаленных от нейтральной линии точках сечения. Эти точки называются опасными. На рис. 26 опасными являются точки А и В.

Условие прочности, записанное для точки А, имеет вид

втах

Мх Му

~гУа + -1-хА Jx где Ха, у а ~ координаты точки А.

Для сечений с выступающими углами (прямоугольник, швеллер, двутавр и др.) условие прочности может быть записано в виде

®тах

I Мх I Му

№х 1Уу

Прогиб при косом изгибе определяется как геометрическая сумма прогибов, возникающих в направлениях осей х и у (рис. 27), по формуле б = л/и2 + V2, где и, V — перемещения в направлениях указанных осей.

Направление полного прогиба определяется углом

и (]х

у = аг^ — = агф? tgф

Из этой формулы видно, что направление прогиба балки будет совпадать с плоскостью действия момента М только при ]х = ]у

(у = ф). Если моменты инерции сечения не равны между собой, то направление прогиба и плоскость действия момента не совпадают (см. рис. 27). По этой причине изгиб называется косым.

Внецен гренное рас гяжение-сжа гие

Внецентренным растяжением называется такой вид нагружения стержня, при котором точка приложения внешней продольной силы не совпадает с центром тяжести сечения.

Пусть сила Т7 приложена в точке с координатами Хр, ур (рис. 28). Если привести эту силу к центру тяжести сечения О, то получится, что в сечении действуют продольная сила (V = Е и изгибающие моменты Мх = — Еур, Му = -Ихр.

Нормальные напряжения при внецентренном растяжении-сжатии определяются по формуле

а = д +

X.

Эпюра нормальных напряжений представлена на рис. 28.

Опасными точками сечения являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии.

Приравнивая к нулю нормальное напряжение, получаем уравнение нейтральной линии

Хр УF

1 И-5-х -I-5-у = О, Іу ІХ

где іХіУ

Чх-

радиусы инерции сечения.

Отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях координат:

Условие прочности для пластичных материалов, у которых допускаемые напряжения при сжатии и растяжении одинаковые, записывается в виде

®тах

где х, у — координаты наиболее удаленной от нейтральной линии точки. Для приведенного примера х = хА, у = Уа-

Для хрупких материалов, у которых [ас] Ф [ар], условие прочности следует записывать отдельно для опасной точки сечения в растянутой зоне

Т Рхр г

7 + ~гУа +~ГХа — К1′

Л]х -/у

и для опасной точки сечения в сжатой зоне

Р

А

ХВ [ос],

где Ха, Уа и хв, ув — координаты точек, наиболее удаленных от нейтральной линии. Точка Д(х^;ул) находится в растянутой зоне, а точка В(хв, ув) — в сжатой.

Изгиб с кручением

Изгиб с кручением — это вид нагружения, при котором стержень подвергается одновременному действию крутящих и изгибающих моментов (рис. 29).

Для определения напряжений воспользуемся принципом независимости действия сил.

Максимальные нормальные и касательные напряжения равны со-

Мх Т

№

тах

X

V

Рис. 29

ответственно отах =- и т

Нормальные и касательные напряжения достигают наибольшего значения в точках А и В сечения вала (рис. 30).

Элементарный параллелепипед, выделенный в окрестности точки А, находится в плоском напряженном состоянии. На его гранях действуют о и т (рис. 31).

Подставляя в III теорию прочности (а^в = л/а2 + 4т2А, получим условие прочности

Рис. 30

Рис. 31

Если изгиб вала происходит в двух плоскостях, то условие прочности записывается в виде

а111 =

иэкв

Аналогичным образом можно получить условие прочности по IV теории прочности:

а

IV

экв

+ 0,75Т2

Щс